Traitements d'Images Binaires

Moments des Régions

Moments

Le moment d'une région se calcule grâce à l'équation suivante :
$m_{p q} = \sum_{x = 0}^{M} \sum_{y = 0}^{N} I (x, y) \cdot x^{p} y^{q}$

Aire des régions

L'aire d'une région peut se calculer avec le moment d'ordre p=0 et q=0:
$A (R) = \sum_{x = 0}^{M} \sum_{y + 0}^{N} I (x, y) \cdot x^{0} y^{0} = m_{00} (R)$
Où A(R) est l'aire de la région.
voici le programme:

clear all; close all; %x = imread('objetinv.PNG'); x = imread('objetinv2.PNG'); %x = imread('forme.PNG'); x=x(:,:,1); [M N] = size(x); %binarisation level = graythresh(x); img = im2bw(x,0.1); %labellisation CC = bwconncomp(img); L = labelmatrix(CC); %affihcage figure subplot(221) imshow(img) subplot(222) imshow(label2rgb(L)); %nombre d'objet, number of objects nbobj = max(max(L)); %parametres des objets, object's parameters param=zeros(nbobj,6); for i = 1 : nbobj param(i,1)=i; end %param = [ numero , nb pixel , boite_gauche , boite_droite , boite_haut , %boite_bas] for i = 1 : M for j = 1 : N if L(i,j)~=0 numero = L(i,j); param(numero,2)= param(numero,2) + 1 ; if param(numero,3)==0 || param(numero,3)>j param(numero,3)=j; end if param(numero,4)==0 || param(numero,4)<j param(numero,4)=j; end if param(numero,5)==0 || param(numero,5)>i param(numero,5)=i; end if param(numero,6)==0 || param(numero,6)<i param(numero,6)=i; end end end end % supression petit objet var =1; for i = 1 : nbobj if param(i,2)>10 parametre(var,:)=param(i,:); var=var+1; end end nbobj = size(parametre,1); %########### %########### %%%%%%moment moment_0_0=zeros(nbobj,1); p=0; q=0; for i = 1 : nbobj boite = L(parametre(i,5):parametre(i,6),parametre(i,3):parametre(i,4)); label = parametre(i,1); for m = 1 : size(boite,1) for n = 1 : size(boite,2) if boite(m,n)==label moment_0_0(i,1)=moment_0_0(i,1)+ (m^p*n^q); end end end end % affichage centre de gravité %subplot(223) figure('color',[0.3137 0.3137 0.5098]) imshow(img) hold on for i = 1 : nbobj subplot(3,4,i) imshow(img(parametre(i,5):parametre(i,6),parametre(i,3):parametre(i,4))) title(strcat('A(R)=',num2str(moment_0_0(i)))) end

Un exemple

Centre de Gravité

Le centre de gravité est calculé avec les moments d'ordre p=1 et q=0 pour la coordonnée en x et p=0 et q=1 pour y. Les moments trouvés sont ensuite normalisés par le moment d'ordre 0 de la région (A(R)). On a :
$x_{c e n t r e} = \frac{1}{A (R)} \cdot \sum_{x = 0}^{M} \sum_{y + 0}^{N} I (x, y) \cdot x^{1} y^{0} = \frac{m_{10} (R)}{m_{00} (R)}$
$y_{c e n t r e} = \frac{1}{A (R)} \cdot \sum_{x = 0}^{M} \sum_{y + 0}^{N} I (x, y) \cdot x^{0} y^{1} = \frac{m_{01} (R)}{m_{00} (R)}$
voici le programme :

%centroide moment_1_0=zeros(nbobj,1); p=1; q=0; for i = 1 : nbobj boite = L(parametre(i,5):parametre(i,6),parametre(i,3):parametre(i,4)); label = parametre(i,1); for m = 1 : size(boite,1) for n = 1 : size(boite,2) if boite(m,n)==label moment_1_0(i,1)=moment_1_0(i,1)+ (m^p*n^q); end end end end moment_1_0=round(moment_1_0./moment_0_0); moment_1_0= moment_1_0+parametre(:,5); % moment_0_1=zeros(nbobj,1); p=0; q=1; for i = 1 : nbobj boite = L(parametre(i,5):parametre(i,6),parametre(i,3):parametre(i,4)); label = parametre(i,1); for m = 1 : size(boite,1) for n = 1 : size(boite,2) if boite(m,n)==label moment_0_1(i,1)=moment_0_1(i,1)+ (m^p*n^q); end end end end moment_0_1=round(moment_0_1./moment_0_0); moment_0_1= moment_0_1+parametre(:,3); % affichage centre de gravité %subplot(223) figure('color',[0.3137 0.3137 0.5098]) imshow(img) hold on for i = 1 : nbobj plot(moment_0_1(i),moment_1_0(i),'r+','LineWidth',2) end title('center of gravity')

Un exemple

Moments Centraux

Ils sont calculés pour les coordonnées prises par rapport aux coordonnées du centre de gravité :
$μ_{p q} = \sum_{x = 0}^{M} \sum_{y + 0}^{N} I (x, y) \cdot {(x - x_{c e n t r e})}^{p} {(y - y_{c e n t r e})}^{q}$

Moments Centraux Normalisés

Pour normaliser un moment, on le multiplie par l'inverse du moment d'ordre 0 (l'aire) élevé à la puissance (p+q+2)/2. On trouve :
${\overline{μ}}_{p q} (R) = μ_{p q} \cdot {(\frac{1}{μ_{00} (R)})}^{(\frac{p + q + 2}{2})}$

Orientation des régions

L'orientation d'une région nous donne l'axe passant par son centroïde et traversant la plus grande partie de la région. L'angle $θ$ représente l'angle de rotation de l'axe par rapport à l'horizontal. On a :
$θ (R) = \frac{1}{2} \cdot t a n^{- 1} (\frac{2 \cdot μ_{11} (R)}{μ_{20} (R) - μ_{02} (R)})$
Grâce à cet angle, nous pouvons tracer le segment de droite passant par le centroïde de la région. Le facteur $λ$ permet de définir la longueur du segment de droite.
$(\binom{x'}{y'}) = (\binom{x_{c} e n t r e}{y_{c} e n t r e}) + λ (\binom{\cos (θ (R))}{\sin (θ (R))})$
voici le programme :

% orientation theta=zeros(nbobj,1); moment_0_0=zeros(nbobj,1); moment_1_0=zeros(nbobj,1); moment_0_1=zeros(nbobj,1); moment_1_1=zeros(nbobj,1); moment_2_0=zeros(nbobj,1); moment_0_2=zeros(nbobj,1); for i = 1 : nbobj boite = L(parametre(i,5):parametre(i,6)+1,parametre(i,3):parametre(i,4)+1); label = parametre(i,1); for m = 1 : size(boite,1) for n = 1 : size(boite,2) if boite(m,n)==label p=0; q=0; moment_0_0(i,1)=moment_0_0(i,1)+ (m^p)*(n^q); p=1; q=0; moment_1_0(i,1)=moment_1_0(i,1)+ (m^p)*(n^q); p=0; q=1; moment_0_1(i,1)=moment_0_1(i,1)+ (m^p)*(n^q); end end end moment_1_0(i,1)=moment_1_0(i,1)/moment_0_0(i,1); moment_0_1(i,1)=moment_0_1(i,1)/moment_0_0(i,1); for m = 1 : size(boite,1) for n = 1 : size(boite,2) if boite(m,n)==label p=1; q=1; moment_1_1(i,1)=moment_1_1(i,1)+ ((m-moment_1_0(i,1))^p)*((n-moment_0_1(i,1))^q); p=2; q=0; moment_2_0(i,1)=moment_2_0(i,1)+ ((m-moment_1_0(i,1))^p)*((n-moment_0_1(i,1))^q); p=0; q=2; moment_0_2(i,1)=moment_0_2(i,1)+ ((m-moment_1_0(i,1))^p)*((n-moment_0_1(i,1))^q); end end end moment_1_1(i,1)=moment_1_1(i,1)*(1/moment_0_0(i,1))^2; moment_2_0(i,1)=moment_2_0(i,1)*(1/moment_0_0(i,1))^2; moment_0_2(i,1)=moment_0_2(i,1)*(1/moment_0_0(i,1))^2; a=2*moment_1_1(i,1); b=moment_2_0(i,1)-moment_0_2(i,1); theta(i)= atan(a/b)/2; if moment_2_0(i,1)<moment_0_2(i,1) theta(i)=theta(i)+pi/2; end end % affichage orientation des momentsd %subplot(223) figure('color',[0.3137 0.3137 0.5098]) a=axes x=0; y=0; lambda=50; imshow(img) hold on for i = 1 : nbobj x(1)=moment_1_0(i)+parametre(i,5); x(2)=(x(1) + cos(theta(i))*lambda); y(1)=moment_0_1(i)+parametre(i,3); y(2)=(y(1) + sin(theta(i))*lambda); x=round(x); y=round(y); plot(y(1),x(1),'r+','LineWidth',2) plot([y(1) y(2)],[x(1) x(2)] ,'r') end title('moment orientation')

Un exemple

Excentricité des régions

$E c c (R) = \frac{μ_{20} + μ_{02} + \sqrt{{(μ_{20} - μ_{02})}^{2} + 4 \cdot μ_{11}^{2}}}{μ_{20} + μ_{02} - \sqrt{{(μ_{20} - μ_{02})}^{2} + 4 \cdot μ_{11}^{2}}} = \frac{a_{1}}{a_{2}},$
$r a = {(\frac{2 a_{1}}{A (R)})}^{\frac{1}{2}}$
$r b = {(\frac{2 a_{2}}{A (R)})}^{\frac{1}{2}}$
Où ra et rb sont les paramètres de l'ellipse de la région. Nous pouvons tracer l'ellipse grâce aux équations d'une ellipse :
$(\binom{x (t)}{y (t)}) = (\binom{x_{c} e n t r e}{y_{c} e n t r e}) + (\begin{matrix} \cos (θ) & - \sin (θ) \\ \sin (θ) & \cos (θ) \end{matrix}) \cdot (\binom{r a \cdot \cos (t)}{r b \cdot \sin (t)})$
ou $0 \leq t \leq 2 π$
voici le programme :

% excentricité for i = 1 : nbobj a1(i)=moment_2_0(i)+moment_0_2(i)+sqrt( (moment_2_0(i)-moment_0_2(i))^2 + 4*moment_1_1(i)^2); a2(i)=moment_2_0(i)+moment_0_2(i)-sqrt( (moment_2_0(i)-moment_0_2(i))^2 + 4*moment_1_1(i)^2); ra(i)=(2*a1(i)/moment_0_0(i))^0.5; rb(i)=(2*a2(i)/moment_0_0(i))^0.5; end figure('color',[0.3137 0.3137 0.5098]) a=axes x=0; y=0; imshow(img) hold on for i = 1 : nbobj a(1)=moment_1_0(i)+parametre(i,5); b(1)=moment_0_1(i)+parametre(i,3); a=round(a); b=round(b); ra(i)=ra(i)*moment_0_0(i); rb(i)=rb(i)*moment_0_0(i); t=0:1/1000:2*pi; for j = 1 : length(t) [x(1:2,j)]= [a;b]+[cos(theta(i)) -sin(theta(i));sin(theta(i)) cos(theta(i))]*[ra(i)*cos(t(j));rb(i)*sin(t(j))]; end plot(b,a,'r+','LineWidth',2) plot(x(2,:),x(1,:) ,'r') end title('moment orientation')

Un exemple

Programme complet

clear all; close all; x = imread('objetinv2.PNG'); x=x(:,:,1); [M N] = size(x); %binarisation level = graythresh(x); img = im2bw(x,0.1); %labellisation CC = bwconncomp(img); L = labelmatrix(CC); %affihcage figure subplot(221) imshow(img) subplot(222) imshow(label2rgb(L)); %nombre d'objet, number of objects nbobj = max(max(L)); %parametres des objets, object's parameters param=zeros(nbobj,6); for i = 1 : nbobj param(i,1)=i; end %param = [ numero , nb pixel , boite_gauche , boite_droite , boite_haut , %boite_bas] for i = 1 : M for j = 1 : N if L(i,j)~=0 numero = L(i,j); param(numero,2)= param(numero,2) + 1 ; if param(numero,3)==0 || param(numero,3)>j param(numero,3)=j; end if param(numero,4)==0 || param(numero,4)<j param(numero,4)=j; end if param(numero,5)==0 || param(numero,5)>i param(numero,5)=i; end if param(numero,6)==0 || param(numero,6)<i param(numero,6)=i; end end end end % supression petit objet var =1; for i = 1 : nbobj if param(i,2)>10 parametre(var,:)=param(i,:); var=var+1; end end nbobj = size(parametre,1); %%%%%%moment moment_0_0=zeros(nbobj,1); p=0; q=0; for i = 1 : nbobj boite = L(parametre(i,5):parametre(i,6),parametre(i,3):parametre(i,4)); label = parametre(i,1); for m = 1 : size(boite,1) for n = 1 : size(boite,2) if boite(m,n)==label moment_0_0(i,1)=moment_0_0(i,1)+ (m^p*n^q); end end end end % affichage centre de gravité %subplot(223) figure('color',[0.3137 0.3137 0.5098]) imshow(img) hold on for i = 1 : nbobj subplot(3,4,i) imshow(img(parametre(i,5):parametre(i,6),parametre(i,3):parametre(i,4))) title(strcat('A(R)=',num2str(moment_0_0(i)))) end %centroide moment_1_0=zeros(nbobj,1); p=1; q=0; for i = 1 : nbobj boite = L(parametre(i,5):parametre(i,6),parametre(i,3):parametre(i,4)); label = parametre(i,1); for m = 1 : size(boite,1) for n = 1 : size(boite,2) if boite(m,n)==label moment_1_0(i,1)=moment_1_0(i,1)+ (m^p*n^q); end end end end moment_1_0=round(moment_1_0./moment_0_0); moment_1_0= moment_1_0+parametre(:,5); % moment_0_1=zeros(nbobj,1); p=0; q=1; for i = 1 : nbobj boite = L(parametre(i,5):parametre(i,6),parametre(i,3):parametre(i,4)); label = parametre(i,1); for m = 1 : size(boite,1) for n = 1 : size(boite,2) if boite(m,n)==label moment_0_1(i,1)=moment_0_1(i,1)+ (m^p*n^q); end end end end moment_0_1=round(moment_0_1./moment_0_0); moment_0_1= moment_0_1+parametre(:,3); % affichage centre de gravité %subplot(223) figure('color',[0.3137 0.3137 0.5098]) imshow(img) hold on for i = 1 : nbobj plot(moment_0_1(i),moment_1_0(i),'r+','LineWidth',2) end title('center of gravity') % orientation theta=zeros(nbobj,1); moment_0_0=zeros(nbobj,1); moment_1_0=zeros(nbobj,1); moment_0_1=zeros(nbobj,1); moment_1_1=zeros(nbobj,1); moment_2_0=zeros(nbobj,1); moment_0_2=zeros(nbobj,1); for i = 1 : nbobj boite = L(parametre(i,5):parametre(i,6)+1,parametre(i,3):parametre(i,4)+1); label = parametre(i,1); for m = 1 : size(boite,1) for n = 1 : size(boite,2) if boite(m,n)==label p=0; q=0; moment_0_0(i,1)=moment_0_0(i,1)+ (m^p)*(n^q); p=1; q=0; moment_1_0(i,1)=moment_1_0(i,1)+ (m^p)*(n^q); p=0; q=1; moment_0_1(i,1)=moment_0_1(i,1)+ (m^p)*(n^q); end end end moment_1_0(i,1)=moment_1_0(i,1)/moment_0_0(i,1); moment_0_1(i,1)=moment_0_1(i,1)/moment_0_0(i,1); for m = 1 : size(boite,1) for n = 1 : size(boite,2) if boite(m,n)==label p=1; q=1; moment_1_1(i,1)=moment_1_1(i,1)+ ((m-moment_1_0(i,1))^p)*((n-moment_0_1(i,1))^q); p=2; q=0; moment_2_0(i,1)=moment_2_0(i,1)+ ((m-moment_1_0(i,1))^p)*((n-moment_0_1(i,1))^q); p=0; q=2; moment_0_2(i,1)=moment_0_2(i,1)+ ((m-moment_1_0(i,1))^p)*((n-moment_0_1(i,1))^q); end end end moment_1_1(i,1)=moment_1_1(i,1)*(1/moment_0_0(i,1))^2; moment_2_0(i,1)=moment_2_0(i,1)*(1/moment_0_0(i,1))^2; moment_0_2(i,1)=moment_0_2(i,1)*(1/moment_0_0(i,1))^2; a=2*moment_1_1(i,1); b=moment_2_0(i,1)-moment_0_2(i,1); theta(i)= atan(a/b)/2; if moment_2_0(i,1)<moment_0_2(i,1) theta(i)=theta(i)+pi/2; end end % affichage orientation des momentsd %subplot(223) figure('color',[0.3137 0.3137 0.5098]) a=axes x=0; y=0; lambda=50; imshow(img) hold on for i = 1 : nbobj x(1)=moment_1_0(i)+parametre(i,5); x(2)=(x(1) + cos(theta(i))*lambda); y(1)=moment_0_1(i)+parametre(i,3); y(2)=(y(1) + sin(theta(i))*lambda); x=round(x); y=round(y); plot(y(1),x(1),'r+','LineWidth',2) plot([y(1) y(2)],[x(1) x(2)] ,'r') end title('moment orientation') % excentricité for i = 1 : nbobj a1(i)=moment_2_0(i)+moment_0_2(i)+sqrt( (moment_2_0(i)-moment_0_2(i))^2 + 4*moment_1_1(i)^2); a2(i)=moment_2_0(i)+moment_0_2(i)-sqrt( (moment_2_0(i)-moment_0_2(i))^2 + 4*moment_1_1(i)^2); ra(i)=(2*a1(i)/moment_0_0(i))^0.5; rb(i)=(2*a2(i)/moment_0_0(i))^0.5; end figure('color',[0.3137 0.3137 0.5098]) x=0; y=0; imshow(img) hold on for i = 1 : nbobj a(1)=moment_1_0(i)+parametre(i,5); b(1)=moment_0_1(i)+parametre(i,3); a=round(a); b=round(b); ra(i)=ra(i)*moment_0_0(i); rb(i)=rb(i)*moment_0_0(i); t=0:1/1000:2*pi; for j = 1 : length(t) [x(1:2,j)]= [a;b]+[cos(theta(i)) -sin(theta(i));sin(theta(i)) cos(theta(i))]*[ra(i)*cos(t(j));rb(i)*sin(t(j))]; end plot(b,a,'r+','LineWidth',2) plot(x(2,:),x(1,:) ,'r') end title('moment orientation')

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